兩個 GPS 座標之間的距離要怎麼算

先講結論

把兩組經緯度換算成距離，標準做法是用一個大圓距離公式——多數健行和地圖類軟體實際用的是 haversine 公式——把兩個點當成球面上的點，先算出沿著這個球面走過去的最短弧長，再乘以地球的半徑得到實際距離。這個公式先把兩個座標都轉成弧度，接著按固定的順序跑一串三角函數，最後回傳的是兩點之間的直線距離——不是沿著某條步道或某條路走過去的距離，只是一個地點到另一個地點之間最直接的那段間隔。

為什麼平面捷徑行不通

緯度 1 度在地球上任何地方對應的距離大致相同，大約 111 公里。經度 1 度就不是這樣了：在赤道附近同樣是 111 公里左右，但越靠近南北極就越縮小到接近零，因為經線是向兩極收攏的。要是不管三七二十一，把緯度和經度的一度都當成同一回事來算，離開熱帶地區之後算出來的結果就會開始偏離真實距離——緯度低的地方偏差小一點，往南北極去偏差就越來越大。用畢氏定理走捷徑，前提是假設有一張方格網，網格裡不管哪個方向 1 度都是 1 度，但經緯度本來就不是照這個假設長出來的。

大圓距離公式繞開了這個問題，因為它根本沒把座標當成網格上的位置來處理。它直接在座標本來所在的那個曲面上，用角度本身來計算，所以不需要再另外根據緯度高低做一次修正。

這個計算實際需要什麼

不管是哪個版本的公式，起點都是同樣的四個數字：第一個點的經緯度，第二個點的經緯度——在一切開始之前，先把它們從角度換算成弧度。接下來是一串固定順序的正弦、餘弦、反正切運算，算出一個角度：從地心看過去，這兩個點之間張開的角度。把這個角度乘以地球的平均半徑，就得到一個實際距離，單位隨半徑給定的單位而定。

這個計算只需要這兩組座標本身，別的什麼都不需要。不需要知道中間還有哪些點，不需要海拔，也不需要知道兩點之間的地面上有什麼——它純粹是球面上兩個位置之間的一個函數。

兩個點靠得很近時，用簡化算法就夠了

完整的球面三角學在長距離時才真正要緊，因為那種情況下兩點之間地球的彎曲程度已經大到不能忽略。步道上相鄰的兩個點——相隔幾公尺，間隔幾秒鐘記錄——彼此靠得夠近，實際上可以把它們之間那一小片地表當成平的來看待。只針對當下所在緯度修正一下經度 1 度實際對應的距離，用這樣一個簡單的平面近似算法算出來的答案，跟大圓距離公式的結果之間的差距，比 GPS 接收器本身的誤差還要小。不少健行記錄軟體在點與點之間實際跑的正是這個簡化版本，因為算起來更省，而在健行這個距離尺度上又不會丟掉任何有意義的東西。

一趟健行的總距離說到底就是這個

一條記錄下來的軌跡並不是一次距離計算的結果——它是把這同一個兩點間計算，在軌跡裡每一對相鄰的點之間各跑一遍，再把所有結果加起來。一趟每秒記錄一次、走了一個小時的健行，大概有 3600 個點，也就差不多有這麼多個首尾相連的小段距離計算，每一段只涵蓋幾公尺。健行結束時顯示的總距離，就是把它們全部加起來的結果，這也是為什麼它是一個不斷累加的數字，而不是一次測出來的數值——要等每一對相鄰的點都跑完了這個計算，這個總數才算存在。

同樣的道理，這也是一段水平距離，而不是沿坡面走過的距離，因為公式用的只有經度和緯度，從頭到尾都沒看過海拔這一欄。同樣的座標，走一段陡坡和走一段平路算出來的距離是一樣的，因為這個計算本來就沒有任何一步會去讀海拔。

容易搞混的地方

• 把兩個座標直接相減當成距離——座標的差是一個角度，不是距離，要把它正確換算成距離，還得知道這兩個點具體在地球上的什麼位置。
• 直接對經緯度用畢氏定理——這只在平面上成立，而經緯度描述的是球面上的位置，離赤道越遠，這樣算出來的誤差就越大。
• 跑三角函數之前忘了把角度換算成弧度——多數公式的實作都預設輸入是弧度，直接餵進去角度的原始數值，算出來的結果看起來像那麼回事，實際上並不是真正的距離。
• 以為結果裡包含了海拔差——大圓距離量的是沿地表的距離，跟健行總距離用的是同一套水平方向的算法，所以同樣兩點之間，陡坡和平路量出來的距離完全一樣。

TrailCam 在這裡做的事

TrailCam 在記錄一段路線的整個過程中，會持續跑這同一個兩點間的計算，把每一小段距離不斷加進健行進行中顯示的那個總距離裡。GPX 1.1 匯出檔裡保留了每個記錄點未經四捨五入的原始經度、緯度和海拔，所以如果你想自己核對，完全可以拿著這份檔案把同一個距離重新算一遍。GPX 匯出屬於可選的 TrailCam Pro，App 本身免費下載。